quarta-feira, 23 de maio de 2007

Quem somos


Maria Solange B. Teixeira

Claudio R. Severo

BIBLIOGRAFIA

BERTONI, N.E. – Porque mudar o ensino de Matemática? Temas e debates. Sociedade brasileira de Educação Matemática. Blumenau, Ano VII. N. s. out. 1994.
MURARO, Antônio – PALAVRAS EM AÇÃO – Minimanual de pesquisa Matemática. Claranto. Editora, Minas Gerais, 2003, 1ª edição.

www.exatas.hpg.ig.com.br
www.juliobattisti.com.br
www.mat.uc.pt/~jaimecs/indexhm.html
pt.wikipedia.og/wiki/matem
pt.wikipedia.og/wiki/Portal:matem

3 - Quanto a utilidade da informática para facilitar o aprendizado dos alunos nas expressões algébricas

Também não foi possível esclarecer esta dúvida, pois não encontramos uma resposta, também, por que até o momento tivemos pouco tempo para pesquisar. Mas continuaremos buscando uma resposta para esta dúvida.

2 - Quanto a utilização da informática no esclarecimento da matemática moderna

Não encontramos praticamente nada. Talvez por pouco tempo que tivemos para aprofundar as pesquisas.

NOSSO PARECER

Através das pesquisas em livros, pesquisas na internet e a prática do dia-a-dia em sala de aula para a elaboração deste projeto, conseguimos até chegar a algumas conclusões tais como: Sendo a matemática uma ciência que precisa e desenvolve um raciocínio mais lógico, o professor de matemática tem, talvez, uma maior responsabilidade que os demais professores em tornar os educandos mais pensantes, sendo assim o papel do professor de matemática é obrigado a mudar o comportamento natural, em vez de detentor de conhecimentos passar a dividir, trocar idéias, orientar, questionar, trocar idéias com seus alunos, aprender mutuamente, e discutindo problemas do dia-a-dia até mesmo com diversas possibilidades de solução, deixando que o que os alunos pensaram e desenvolveram com suas imaginações também sejam consideradas.

Se for possível se aproveitar os laboratórios de informática também em prol dos alunos, no ensino da matemática, teremos uma grande conquista a mais, embora isto para nós professores, já como previsão, seja talvez até mais difícil do que para os alunos, pois nós professores temos que mudar nossa postura ousar e usar essas novas tecnologias de informática no processo de aprendizagem e uma nova maneira de trabalharmos através de projetos.

Acreditamos que nas escolas onde seja possível o uso contínuo dos computadores os professores encontrem maneiras de resolverem os problemas, bem como a condução de muitas atividades que desenvolvidas na comunidade escolar sejam as soluções dos também problemas da vida de um cidadão.

4 - Aulas atrativas

Os livros didáticos habitualmente usados em nossas aulas trazem muitos símbolos matemáticos.

O excesso de simbologia, freqüentemente, cria dificuldades desnecessárias para o aluno, chegando mesmo a impedir que ele compreenda a idéia representada pelo símbolo.
Assim, por exemplo, a apresentação precoce e inadequada do símbolo que representa fração (1/2, 3/4, 7/9, etc.), pode prejudicar a compreensão do conceito de fração. Esta dificuldade, gerada por uma apresentação inadequada da linguagem matemática, é bastante lamentável; afinal de contas, esta linguagem foi desenvolvida justamente com a intenção oposta.

A linguagem matemática desenvolveu-se para facilitar a comunicação do conhecimento matemático entre as pessoas. Entretanto, quando abusamos do uso de símbolos e não nos preocupamos em trabalhar a compreensão dos mesmos, clareando o seu significado, conseguimos o efeito contrário: dificultamos o processo de aprendizagem da matemática.


Na prática:
Nas nossa aulas poderemos usar o que aprendemos neste trabalho em:Expressões algébricas com:
Ø Problemas envolvendo: Dinheiro e diversas mercadorias e de diversos tipos
Ø Generalização de casos para ser possível o uso de letras e ou variáveis.
Ø Na definição do que é um monômio.
Ø Na exemplificação de um binômio, trinômio e polinômios em geral

Equações algébricas e notação

A fase antiga (elementar), que abrange o período de 1700 a.C. a 1700 d.C., aproximadamente, caracterizou-se pela invenção gradual do simbolismo e pela resolução de equações (em geral coeficientes numéricos) por vários métodos, apresentando progressos pouco importantes até a resolução "geral" das equações cúbicas e quárticas e o inspirado tratamento das equações polinomiais em geral feito por François Viète, também conhecido por Vieta (1540-1603).

O desenvolvimento da notação algébrica evoluiu ao longo de três estágios: o retórico (ou verbal), o sincopado (no qual eram usadas abreviações de palavras) e o simbólico. No último estágio, a notação passou por várias modificações e mudanças, até tornar-se razoavelmente estável ao tempo de Isaac Newton. É interessante notar que, mesmo hoje, não há total uniformidade no uso de símbolos. Por exemplo, os americanos escrevem "3.1416" como aproximação de Pi, e muitos europeus escrevem "3,1416". Em alguns países europeus, o símbolo "÷" significa "menos". Como a álgebra provavelmente se originou na Babilônia, parece apropriado ilustrar o estilo retórico com um exemplo daquela região. O problema seguinte mostra o relativo grau de sofisticação da álgebra babilônica. É um exemplo típico de problemas encontrados em escrita cuneiforme, em tábuas de argila que remontam ao tempo do rei Hammurabi. A explanação, naturalmente, é feita em português; e usa-se a notação decimal indo-arábica em vez da notação sexagesimal cuneiforme. A coluna à direita fornece as passagens correspondentes em notação moderna.

Alguns séculos depois, outro grego, Diofanto, também usou a abordagem paramétrica em seu trabalho com equações "diofantinas". Ele deu início ao simbolismo moderno introduzindo abreviações de palavras e evitando o estilo um tanto intrincado da álgebra geométrica.
Em terceiro lugar, os matemáticos árabes (inclusive al-Khowarizmi) não usavam o método empregado no problema acima; preferiam eliminar uma das incógnitas por substituição e expressar tudo em termos de palavras e números.
Antes de deixar a álgebra babilônica, notemos que eles eram capazes de resolver uma variedade surpreendente de equações, inclusive certos tipos especiais de cúbicas e quárticas - todas com coeficientes numéricos, naturalmente.

A álgebra surgiu no Egito quase ao mesmo tempo que na Babilônia; mas faltavam à álgebra egípcia os métodos sofisticados da álgebra babilônica, bem como a variedade de equações resolvidas, a julgar pelo Papiro Moscou e o Papiro Rhind - documentos egípcios que datam de cerca de 1850 a.C. e 1650 a.C., respectivamente, mas refletem métodos matemáticos de um período anterior. Para equações lineares, os egípcios usavam um método de resolução consistindo em uma estimativa inicial seguida de uma correção final - um método ao qual os europeus posteriormente deram o nome umtanto abstruso de "regra da falsa posição". A álgebra do Egito, como a da Babilônia, era retórica.

O sistema de numeração egípcio, relativamente primitivo em comparação com o dos babilônios, ajuda a explicar a falta de sofisticação da álgebra egípcia. Os matemáticos europeus do século XVI tiveram de estender a noção indo-arábica de número antes de poderem avançar significativamente além dos resultados babilônios de resolução de equações.

Não há dúvida de que os pitagóricos conheciam bem a álgebra babilônica e, de fato, seguiam os métodos-padrão babilônios de resolução de equações. Euclides deixou registrados esses resultados pitagóricos.

É de fato notável que a maior parte dos problemas-padrão babilônicos tenham sido "refeitos" desse modo por Euclides. Mas por quê? O que levou os gregos a darem à sua álgebra esta formulação desajeitada? A resposta é básica: eles tinham dificuldades conceituais com frações e números irracionais.

Mesmo que os matemáticos gregos fossem capazes de contornar as frações, tratando-as como razões de inteiros, eles tinham dificuldades insuperáveis com números como a raiz quadrada de 2, por exemplo. Lembramos o "escândalo lógico" dos pitagóricos quando descobriram que a diagonal de um quadrado unitário é incomensurável com o lado (ou seja, diag/lado é diferente da razão de dois inteiros).

Assim, foi seu estrito rigor matemático que os forçou a usar um conjunto de segmentos de reta como domínio conveniente de elementos. Pois, ainda que raiz quadrada de 2 não possa ser expresso em termos de inteiros ou suas razões, pode ser representado como um segmento de reta que é precisamente a diagonal do quadrado unitário. Talvez não seja apenas um gracejo dizer que o contínuo linear era literalmente linear.

De passagem devemos mencionar Apolônio (c. 225 a.C.), que aplicou métodos geométricos ao estudo das secções cônicas. De fato, seu grande tratado Secções cônicas contém mais geometria analítica das cônicas - toda fraseada em terminologia geométrica - do que os cursos universitários de hoje.

A matemática grega deu uma parada brusca. A ocupação romana tinha começado, e não encorajava a erudição matemática, ainda que estimulasse alguns outros ramos da cultura grega. Devido ao estilo pesado da álgebra geométrica, esta não poderia sobreviver somente na tradição escrita; necessitava de um meio de comunicação vivo, oral. Era possível seguir o fluxo de idéias desde que um instrutor apontasse para diagramas e explicasse; mas as escolas de instrução direta não sobreviveram.

História da álgebra (uma visão geral)

Estranha e intrigante é a origem da palavra "álgebra". Ela não se sujeita a uma etimologia nítida como, por exemplo, a palavra "aritmética", que deriva do grego arithmos ("número"). Álgebra é uma variante latina da palavra árabe al-jabr (às vezes transliterada al-jebr), usada no título de um livro, Hisab al-jabr w'al-muqabalah, escrito em Bagdá por volta do ano 825 pelo matemático árabe Mohammed ibn-Musa al Khowarizmi (Maomé, filho de Moisés, de Khowarizm). Este trabalho de álgebra é com frequência citado, abreviadamente, como Al-jabr. Uma tradução literal do título completo do livro é a "ciência da restauração (ou reunião) e redução", mas matematicamente seria melhor "ciência da transposição e cancelamento"- ou, conforme Boher, "a transposição de termos subtraídos para o outro membro da equação" e "o cancelamento de termos semelhantes (iguais) em membros opostos da equação". Assim, dada a equação: x2 + 5x + 4 = 4 - 2x + 5x3al-x3jabr fornecex2 + 7x + 4 = 4 + 5e al-muqabalah fornecex2 + 7x = 5x3 . Talvez a melhor tradução fosse simplesmente "a ciência das equações". Ainda que originalmente "álgebra" refira-se a equações, a palavra hoje tem um significado muito mais amplo, e uma definição satisfatória requer um enfoque em duas fases:(1) Álgebra antiga (elementar) é o estudo das equações e métodos de resolvê-las. (2) Álgebra moderna (abstrata) é o estudo das estruturas matemáticas tais como grupos, anéis e corpos - para mencionar apenas algumas. De fato, é conveniente traçar o desenvolvimento da álgebra em termos dessas duas fases, uma vez que a divisão é tanto cronológica como conceitual.

O uso das expressões algébricas

No cotidiano, muitas vezes usamos expressões sem perceber que as mesmas representam expressões algébricas ou numéricas.
Numa papelaria, quando calculamos o preço de um caderno somado ao preço de duas canetas, usamos expressões como 1x+2y, onde x representa o preço do caderno e y o preço de cada caneta.
Num colégio, ao comprar um lanche, somamos o preço de um refrigerante com o preço de um salgado, usando expressões do tipo 1x+1y onde x representa o preço do salgado e y o preço do refrigerante.
Usamos a subtração para saber o valor do troco. Por exemplo, se V é o valor total de dinheiro disponível e T é o valor do troco, então temos uma expressão algébrica do tipo V-(1x+1y)=T.

A simbologia matemática tem história

Conhecer a origem de certos símbolos pode ajudar a compreendê-los. Já nas civilizações da Antiguidade (babilônios, gregos, chineses, romanos, etc.), os homens desenvolveram linguagens variadas para representar sons (palavras) e números, os símbolos que usavam de uma civilização para outra, dependiam de suas condições materiais e culturais.
Assim, por exemplo, os babilônios desenvolveram uma escrita para os números que, embora bastante sofisticada, usava basicamente um único sinal em forma de cunha (escrita cuneiforme).
As formas eram feitas pressionando levemente o bastonete sobre a placa de argila.
Com placas cuneiformes e uma série de princípios eles representavam qualquer quantidade.
(continuaremos a pesquisa para conhecer isto melhor)

1 - O uso de letras na Matemática


É costume usar letras nas fórmulas matemáticas. Assim, por exemplo, na fórmula usada para calcular a área de um retângulo aparecem letras.
Podemos exprimir o cálculo da área de um retângulo sem representar os números, por letras: "Para calcular a área de um retângulo, primeiro usamos a medida de sua base; em seguida, encontramos a altura e a seguir multiplicamos a medida da base pela medida da altura”.
Como você vê, o resultado é uma sentença de letras. Além disso, essa sentença só pode ser compreendida por quem conhece a língua portuguesa. A fórmula com letras, ao lado da figura, além de ser mais curta, pode ser compreendida por pessoas de qualquer parte do mundo.

O uso de letras para representar números é um fato relativamente recente na história da matemática. Um dos responsáveis por esta prática foi o matemático francês François Viète, que viveu no século XVI.

Vejamos mais alguns exemplos que ilustram o uso de letras na matemática. Há cerca de 2300 anos, o matemático grego Euclides escreveu em um de seus livros que:
"Se iguais são somados a iguais, os totais são iguais".

Usando letras para representar números podemos expressar esta idéia assim:
"se a = b e c = d, então a + c = b + d"
Dentre as pessoas que freqüentaram pelo menos as séries iniciais do primeiro grau, muitas se lembram de que "a ordem dos fatores não altera o produto". Trocando em miúdos esta frase resume a seguinte idéia: "numa multiplicação, se trocarmos a ordem dos números que estão sendo multiplicados, o resultado permanece o mesmo, quaisquer que sejam os dois números".
Usando letras para representar os dois números esta propriedade fica assim resumida:
a.b = b.a
Nesta sentença matemática as letras a e b representam dois números quaisquer.

Para somar três números podemos somar o primeiro com o segundo e o resultado obtido somar com o terceiro número; ou então, podemos somar o segundo com o terceiro número e o resultado desta soma adicionar ao primeiro. Enfim, os números podem ser associados de qualquer maneira. Usando letras e parênteses escrevemos que:
(a + b) + c = a + (b + c),
quaisquer que sejam os números representados pelas letras a, b, e c.
Esta é a propriedade associativa da adição.

A equação que hoje representamos assim:
"10x² - 5x + 6 = 2",
no século XV era expressa nesta outra linguagem:
"10 census et 6 depentis 5 rebus aequatur 2"
Não há dúvida de que a linguaguem algébrica (o uso de letras para representar números), simplifica a comunicação, por seu caráter universal, preciso e econômico. Você já imaginou um livro de matemática todo escrito por extenso, sem o uso de símbolos matemáticos? Sem dúvida ele teria muito mais páginas do que os livros usuais.

terça-feira, 22 de maio de 2007

Escolhemos este tema:
Devido a curiosidade e a dificuldade de se trabalhar com tal assunto nas séries do ensino fundamental e a preocupação de não deixar o aluno sem participar do processo ensino aprendizagem, pois esse assunto não atrai a maioria dos alunos por ser abstrato demais e com isto faz com que os professores não desenvolvam um bom trabalho.
DÚVIDAS TEMPORÁRIAS

1 - Porque foram utilizadas as letras nas equações matemáticas?
2 - Como utilizar a informática para esclarecer melhor a Matemática Moderna?
3 - A informática serve para facilitar o aprendizado do aluno nas expressões algébricas?
4 - Como tornar as aulas que versem sobre expressões algébricas matemáticas mais atrativas?

CERTEZAS PROVISÓRIAS
- Para generalizar um problema para todos os demais
- Fazendo pesquisas que sejam curiosas e de interesse correspondente ao assunto
- Quando o computador com seus diversos recursos facilita o desenvolvimento do raciocínio e do aprendizado do aluno, sempre é válido usar a informática.
- Elaborando problemas que envolvam o dia-a-dia do aluno e que a resposta esteja diretamente ligada a informática que é a grande curiosidade do momento.








CURIOSIDADE X PREOCUPAÇÃO

No início... como em tudo, é curiosidade. Certas coisas você não conhecendo não precisa se preocupar.
Assim são as expressões algébricas da matemática se você não as conhece nem se preocupe, mas fique curioso.
As expressões são os resumos de todos os se. Se, se, se, se o valor da variável "x" é 10 você é ...( x - 10) ou ( x + 10)?